Nbr – Des Grands Nombres

Noms des grands nombres

Jusqu’au trillion, les grands nombres sont généralement nommés selon deux systèmes :

.              L’échelle latine courte employée aux USA, et de plus en plus en Grande-Bretagne. Elle était également employée en France au XVIIIe siècle.

.              L’échelle latine longue employée en Europe continentale, comme en France (ou elle est la seule légale) ou en Belgique.

A cause de l’hégémonie commerciale américaine sur le monde, l’échelle courte devient de plus en plus employée au détriment de l’échelle longue.

Les noms des grands nombres (supérieurs au trillion) ne sont pratiquement jamais utilisés, du moins dans un contexte de communication normale. De nombreux systèmes ont été proposés pour nommer de très grands nombres, mais aucun ne semble avoir eu d’utilité pratique.

.              Même si les mathématiciens préfèrent utiliser la notation scientifique et parler par exemple de « dix puissance cinquante et un » car cela est sans ambigüité, il existe des noms que l’on peut donner aux grands nombres.

.              L’échelle courte donne les noms million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, n-illion, etc … aux valeurs 106, 109, 1012, 1015, 1018, 103n+3, etc… C’est-à-dire que chaque valeur est la valeur précédente multipliée par un facteur 1000.

.              .                Ex. 47 000 000 000.000 000 = quarante-sept quadrillions.

.              L’échelle longue donne les noms million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, n-illion, etc … aux valeurs 106, 1012, 1018, 1024, 1030, 106n, etc… C’est-à-dire que chaque valeur est la valeur précédente multipliée par un facteur 1 000 000.

.              La valeur 109 s’appelle toujours milliard dans l’échelle longue, mais rien n’interdit de dire mille millions, Les valeurs intermédiaires 1015, 1021, 1027, 106n+3, etc … peuvent être exprimées de deux manières, soit on dit mille billions, mille trillions, mille quadrillions, mille n-illions, etc … soit en copiant sur milliard : billiard, trilliard, quadrilliard, n-illiard, mais ces noms sont à éviter, il est préférable de n’utiliser que les mots en -illion à l’exception de milliard.

.              .              Ex. 47 000 000 000 000 000 = quarante-sept billiards ou préférablement quarante-sept mille billions.

.

Nombre Echelle courte Echelle longue
106 million million
109 billion milliard
1012 trillion billion
1015 quadrillion ou quatrillion billiard
1018 quintillion trillion
1021 sextillion trilliard
1024 septillion quadrillion ou quatrillion
1027 octillion quadrilliard ou quatrilliard
1030 nonillion quintillion
1033 décillion quintilliard
1036 undécillion sextillion
1039 duodécillion ou dodécillion sextilliard
1042 trédécillion septillion
1045 quattordécillion septilliard
1048 quindécillion octillion
1051 sexdécillion octilliard
1054 septendécillion nonillon
1057 octodécillion nonilliard
1060 novemdécillion décillion
1063 vigintillion décilliard
1066 unvigintillion undécillion
1069 d(u)ovigintillion undécilliard
1072 trévigintillion d(u)odécillion
1075 quattuorvigintillion d(u)odécillard
1090 novemvigintillion quindécillion
1093 trigintillion quindécilliard
10123 quadragintillion vigintilliard
10153 quinquagintillion quinvigintilliard
10183 sexagintillion trigintilliard
10213 septuagintillon quintrigintilliard
10243 octogintillion quadragintilliard
10273 nonagintillion quinquadragintilliard
10303 centillion sexagintilliard
10600 cennovemnonagintillion centillion
10603 ducentillion centilliard
10903 trécentillion cenquinquagintilliard
101203 quadringentillion ducentilliard
101503 quingentillion ducenquinquagintilliard
101803 sescentillion trécentilliard
102103 septingentillion trécenquinquagintilliard
102403 octingentillion quadringentilliard
102703 nongentillion quadringenquinquagintilliard
103000 nongennovemnonagintillion quingentillion
103003 milliatillion ou millillion quingentilliard
106003 d(u)omilliatillion ou d(u)omillilion milliatilliard ou millilliard

Ainsi, en utilisant l’échelle longue :

.              1 000 : Mille = 103

.              1 000 000 : Million = 106

.              1 000 000 000 : Milliard = 109

.              1 000 000 000 000 : Billion = 1012

.              1 000 000 000 000 000 : Billiard = 1015

.              1 000 000 000 000 000 000 : Trillion = 1018

.              1 000 000 000 000 000 000 000 : Trilliard = 1021

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 : Quadrillion = 1024

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Quadrilliard = 1027

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Quintillion = 1030

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Quintilliard = 1033

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Sextillion = 1036

.               1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Sextilliard = 1039

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Septillion = 1042

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Septilliard = 1045

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Octillion = 1048

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Octilliard = 1051

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Nonillion = 1054

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Nonilliard = 1057

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Décillion = 1060

.              1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 : Décilliard = 1063

.              L’échelle longue ne permet pas vraiment de nommer des puissances de dix supérieures à 1063, ce qui n’est guère gênant en pratique.

Usage des grands nombres

.              Quelques grands nombres ont réellement un sens pour l’homme, et sont d’un usage relativement courant jusqu’au trillion. Au delà, les noms de grands nombres n’ont plus guère qu’une existence artificielle, dans les définitions mathématiques, et il n’y pas d’occurrence de ces mots dans le langage courant.

Dans l’usage courant, ces grands nombres sont exprimés avec la notation scientifique. Avec cette notation, qui existe depuis les années 1800, les grands nombres sont exprimés par un dix et un nombre en exposant. On dira par exemple : « L’émission en rayons X de cette radio-galaxie est de 1,3·1045 erg ». Le nombre 1045 se lit simplement « dix puissance quarante-cinq » : c’est facile à lire, facile à comprendre, et beaucoup plus parlant que « septilliard » ou «quattuordécillion» (qui présente de plus l’inconvénient de signifier deux choses différentes, suivant que la convention utilisée est l’échelle longue ou courte).

Quand c’est une quantité physique qui doit être désignée, ce sont les préfixes du système international qui sont préférentiellement utilisés. Il est plus facile de comprendre une «femtoseconde» que «un billiardième » de seconde, dont le sens dépend aussi de l’échelle longue ou courte.

.               

Ce n’est donc pas pour leur utilité pratique que les grands nombres sont nommés, mais ils ont de tous temps fasciné ceux qui se sont penchés sur eux en essayant d’appréhender ce que « grand nombre » pouvait bien signifier.

Système d’Archimède

.              Un des premiers exemples connus est le décompte que fit Archimède du nombre de grains de sable que pouvait contenir l’univers, dans l’Arénaire (Ψάμμιτης). Pour cela, il généralisa le système de numération grec, dont le terme le plus élevé s’appelait la myriade (104), ce qui permettait donc aux grecs de compter jusqu’à 99 999 999 (soit 108-1, la myriade de myriade n’ayant pas de nom).

Archimède appela ces nombres nommables en grec des « nombres de premier ordre » ; et appela la myriade de myriade, soit 108, l’unité de base des « nombres de deuxième ordre ». En prenant ce nombre comme nouvelle unité, Archimède était capable de nommer 99 999 999 nombres « de deuxième ordre », jusqu’à 108·108=1016. Ce nombre est à son tour pris comme l’unité des « nombres de troisième ordre », et ainsi de suite.

Archimède continua sa construction logique pour tous les « ordres » qui pouvaient être nommés en grec, c’est-à-dire jusqu’au nombre d’ordre une myriade de myriade, fin naturelle de cette série de désignation, soit :

.              

Archimède prolongea cette construction en prenant à nouveau ce nombre comme unité de base, ce qui lui permit d’étendre le système de dénomination jusqu’à

.                 

À ce point, Archimède se servit de ce système de désignation pour estimer le nombre de grains de sable que pouvait contenir l’univers, parce que « innombrable comme les grains de sable » représentait pour les grecs l’exemple archétypal de quelque chose qui ne pouvait pas être compté. Il trouva comme ordre de grandeur « mille myriades du huitième ordre » (soit 1063). C’est à peu près le nombre d’atomes dans l’univers estimé aujourd’hui !

Famille des –llions

Formation des noms en –llion

.              Le système de Nicolas Chuquet consiste à faire suivre les préfixes bi-, tri-, … du suffixe -llion, pour former les noms d’unité successifs. Dans le système original, qui correspond à l’échelle longue, chaque unité vaut 106 fois l’unité précédente. On a donc, de manière régulière :

.            

Ces dix unités permettent d’atteindre 1060, ce qui suffit largement aux usages physiques normaux. C’est le système recommandé en 1948 par la neuvième conférence générale des poids et mesures (et rendu légal en France par le décret 61-501 du 3 mai 1961). Ce système régulier est celui dit de l’échelle longue. Les pays anglo-saxons tendent à utiliser un système irrégulier, l’échelle courte, où un billion vaut 109 et un trillion 1012 (les autres unités étant sans applications pratiques).

Les billiards, trilliards, … d’utilisation moins fréquente, se forment régulièrement sur les préfixes précédents: de manière régulière, un X-illiard vaut mille X-illions.

Au-delà de dix, les noms sont régulièrement composés en utilisant comme préfixe le terme latin désignant le rang. La difficulté est alors de savoir compter en latin, et les termes correspondants souffrent souvent d’une orthographe mal stabilisée. Ainsi, on peut noter que le décret français introduit l’orthographe quatrillion au lieu du quadrillion traditionnel, sans que l’on puisse savoir si c’est un changement délibéré ou une simple erreur typographique.[]

Système de Nicolas Chuquet

.             Nicolas Chuquet écrivit en 1484 un livre, Triparty en la science des nombres, où l’on trouve le premier exposé de l’usage moderne de grouper les grands nombres par paquets de six chiffres, qu’il séparait par des « virgules supérieures » (on remarquera que les noms employés par Chuquet ne sont pas tout à fait les noms modernes). Cependant, l’ouvrage de Chuquet ne fut pas publié de son vivant. Une bonne partie en fut copiée par Estienne de La Roche dans un ouvrage qu’il publia en 1520, L’arismétique.

.              Ou qui veut le premier point peult signiffier million Le second point byllion Le tiers poit tryllion Le quart quadrillion Le cinqe quyllion Le sixe sixlion Le sept.e septyllion Le huyte ottyllion Le neufe nonyllion et ainsi des ault’s se plus oultre on vouloit preceder. Item lon doit savoir que ung million vault mille milliers de unitez, et ung byllion vault mille milliers de millions, et [ung] tryllion vault mille milliers de byllions, et ung quadrillion vault mille milliers de tryllions et ainsi des aultres : Et de ce en est pose ung exemple nombre divise et punctoye ainsi que devant est dit, tout lequel nombre monte 745324 tryllions 804300 byllions 700023 millions 654321.

.              Exemple : 7’453248’043000’700023’654321.

.             Cette description est celle qui correspond au système dit de l’échelle longue, où les préfixes correspondent aux puissances du million. Le bymillion de Adam (byllion pour Chuquet) correspond donc à 1012 et le trimillion / tryllion vaut 1018.

.               C’est à Chuquet que l’on attribue l’invention du système, mais les premiers termes existaient avant lui. Les mots bymillion et trimillion apparaissent en 1475 dans un manuscrit de Jehan Adam.

.              Le terme million existait avant Adam et Chuquet. C’est un mot d’origine probablement italienne, millione, forme intensifiée du mot mille : un million est étymologiquement un gros millier, rappelant les unités de second ordre d’Archimède.La manière dont Adam et Chuquet présentent ces termes suggère qu’ils décrivent un usage préexistant, plutôt qu’une invention personnelle. Il est probable que des termes comme billion et trillion étaient déjà connus à cette époque, mais que Chuquet (expert dans l’art de manier les exposants) en a généralisé le système, inventant les noms correspondant aux puissances plus élevées.

.              Chuquet ne précisa que les dix premiers préfixes ; l’extension de son système aux nombres supérieurs a toujours provoqué des variantes dans les solutions retenues pour adapter les noms latins au suffixe -llion.

Système Gillion

.              Proposé par Russ Rowlett, il est basé sur les préfixes numériques grecs, et les puissances de mille

.             

Système Myriade

.              Proposé par Donald E. Knuth, ce système est une autre manière de généraliser les myriades grecques : au lieu que chaque « ordre de grandeur » corresponde à un regroupement de quatre chiffres, comme pour Archimède, Knuth considère que chaque ordre de grandeur peut avoir deux fois plus de chiffres que le précédent.

Au-delà des noms où l’on reconnaît la présence du « y » caractéristique, il utilise des séparateurs différents pour des groupes de 4, 8, 16, 32 ou 64 chiffres. Ils sont formés sur des puissances de deux successives des puissances de dix mille (myriade). Ce système permet d’écrire et nommer des nombres énormes (le premier grand nombre qui ne peut être exprimé avec les dénominations classiques est l’oktyllion, la mille-vingt-quatrième puissance de la myriade).

Toutefois les noms sont rarement utilisés car ils sont souvent homonymes et homophones d’autres nombres (y compris en anglais où ces noms ont été définis), et créent de nouvelles ambiguïtés avec les échelles courtes et longues.

.             

Le système Gogol

.              Les termes gogol et gogolplex furent inventés par Milton Sirotta, neveu du mathématicien Edward Kasner, qui les introduisit dans une publication de 1940, Mathematics and the Imagination, où il décrit cette invention.

Le terme « gogol » a été inventé par le neveu du Dr Kasner, alors âgé de huit ans. On lui avait demandé d’imaginer un nom pour un nombre très grand, par exemple un 1 suivi de cent zéros :

10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Il était sûr que ce nombre n’était pas infini, et tout aussi certain qu’il n’avait pas de nom propre. Il suggéra le terme « gogol », et dans la foulée en proposa un autre pour un nombre encore plus grand: le « gogolplex ».

.              Le gogol est approximativement égal à la factorielle de 70 (70!) et ses facteurs premiers sont seulement 2 et 5. Il faut au minimum 334 bits pour représenter ce nombre. En effet :

.              2^333..=..17498005798264095394980017816940970922825355447145699491406164851279623993595007385788105416184430592

.              Le gogol n’est pas utilisé scientifiquement, il sert surtout à l’enseignement des mathématiques. Kasner l’a créé afin d’illustrer la différence entre un nombre aussi grand et l’infini. En effet, bien qu’un gogol soit énorme, bien supérieur au nombre d’atomes dans l’Univers (1080 et des poussières), Un gogolplex est beaucoup plus grand qu’un gogol, mais reste fini, ce que l’inventeur du terme fit rapidement remarquer. Au départ, la définition proposée était un 1, suivi d’autant de zéro qu’on pourrait en écrire sans tomber de fatigue. C’est certainement ce qui risquerait d’arriver si quelqu’un essaye d’écrire un gogolplex, mais deux personnes différentes seraient fatiguées au bout d’un temps différent, et ça n’aurait pas de sens que Carnera soit un meilleur mathématicien que Einstein simplement parce qu’il a une meilleure endurance. Pour cette raison, le gogolplex est un nombre spécifique, mais avec tellement de zéros derrière son « un » que le nombre de zéros est lui-même d’un gogol : soit 1010^100

En supposant qu’on écrive sans interruption 3 chiffres par seconde, il nous faudrait environ 100 quindécillions d’années pour retranscrire intégralement ce nombre, soit 100 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards d’années !!! En fait, aucune quantité physique ne peut atteindre ce nombre, autrement dit : il ne sert à rien ! D’autant plus qu’aujourd’hui les grands nombres se notent en écriture scientifique à l’aide de puissances de 10 qui suffisent amplement aux scientifiques !

Par la suite, Conway et Guy[ ont suggéré comme extension qu’un N-plex corresponde par convention à 10N. Avec ce système, un gogol-plex vaut bien 10gogol, et un gogolplexplex vaut 10gogolplex.

D’autres auteurs ont proposé les formes gogolduplex, gogoltriplex, etc., pour désigner respectivement 10gogolplex, 10gogolduplex, et ainsi de suite.

.              

Nombre de Shannon

.              Le nombre de Shannon, soit 10120, est une estimation de la complexité du jeu d’échecs, c’est-à-dire du nombre de parties différentes, ayant un sens échiquéen, possibles. Ce nombre est à distinguer du nombre, beaucoup plus élevé, de parties légales qu’autorisent les règles du jeu.

Il a été initialement calculé par Claude Shannon (1916/2001), le père de la théorie de l’information. D’après lui, 40 coups sont joués en moyenne dans une partie, et, à chaque demi-coup, un joueur a le choix entre, toujours en moyenne, 30 mouvements possibles (ce nombre se situant en fait entre 1, pour les coups forcés, et 218, dans la position qui laisse le plus de liberté de mouvement). Il y aurait donc (30×30)40 soit environ 10120 (un 1 suivi de 120 zéros) parties d’échecs possibles.

Les estimations récentes donnent 10123 parties possibles, sachant que le nombre de positions légales possibles est estimé entre 1043 et 1050. Il convient enfin de préciser que ces nombres correspondent à des parties « raisonnables » : il est possible en fait, compte tenu de la règle des cinquante coups, de jouer des parties légales (mais complètement absurdes) de près de 6 000 coups (François Le Lionnais, Dictionnaire des échecs), et on voit aisément que cela implique un nombre de parties bien supérieur à 106000.

À titre de comparaison, la physique actuelle donne une estimation du nombre d’atomes dans l’univers observable de l’ordre de 1080. L’ordre de grandeur du nombre de Shannon correspond à la capacité mémoire de l’univers calculée par Seth Lloyd. Ce nombre est encore très inférieur aux possibilités du jeu de go, qui malgré des règles plus simples, offre des possibilités de l’ordre (très approximatif) de 10600. Ceci est principalement dû au fait que le plateau de go est bien plus étendu, que la plupart des coups sont légaux et souvent plausibles, et également au fait que la capture des pions rend possible de rejouer dans les espaces ainsi libérés ; cette dernière possibilité permet d’ailleurs de construire des parties légales (mais tout aussi absurdes que celles mentionnées pour les échecs) inimaginablement plus longues (il n’est pas difficile de construire des parties de plus de 10100 coups).

Il popularisa l’utilisation du mot bit comme mesure élémentaire de l’information numérique

Nombre d’Asankhyeya

.              Un nombre plus modeste mais au joli nom d’Asankhyeya (1 suivi de 140 zéros = 10140) a des origines bouddhiques et était supposé être le plus grand.

Constante de Champernowne

.              Dans la catégorie des nombres curieux, la constante de Champernowne occupe une place particulière tant elle est simple à construire.

C’est un nombre irrationnel (un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être écrit comme le quotient de nombres entiers), compris entre 0 et 1, dont le développement en base 10 contient les nombres entiers écrits les uns à la suite des autres :

.              0,12345678910111213141516171819202122232425 …:

Dans la constante de Champernowne, par exemple, le nombre 2 figure très souvent, ainsi que 12 (au début, à cause de 1,2, puis plus loin quand on ajoute l’entier 12 au nombre). Le cas de 12 est intéressant : au moment de l’écrire, après avoir écrit 11, nous savons que 12 a déjà été écrit (il suffit de se relire). Il est donc inutile de le rajouter pour qu’il soit présent. Le nombre obtenu en procédant avec cette règle d’écriture est baptisé constante de Champernowne réduite : on ajoute chaque nombre s’il ne figure pas déjà dans l’écriture décimale. Dans l’exemple qui suit, un point (.) figure à chaque moment où un chiffre a été omis).

.              0,1234567891011..13141516171819202122..24252627282930..3233..35

Par construction ce nombre est aussi un nombre univers. Il contient aussi tous les entiers, soit parce qu’ils ont été ajoutés, soit parce qu’ils avaient déjà été écrits (en tant que concaténés à d’autres nombres).

Nombre univers

.              Un nombre univers en base 10 est un nombre dont l’écriture en base 10 contient tous les entiers.

Cette propriété est très curieuse, particulièrement à l’heure du numérique.

Un titre de trois minutes est enregistré sur un CD numérique de manière non compressée. C’est simplement la suite des échantillons qui est gravée. Ces échantillons sont codés sur 16 chiffres binaires (une succession de 16 chiffres égaux à 0 ou 1).

La fréquence d’échantillonnage est 44,1kHz, ce qui signifie qu’il y a 44 100 échantillons de 16 chiffres binaires par seconde et par oreille, si l’enregistrement est en stéréo. Trois minutes d’enregistrement correspondent donc à 16 (chiffres) * 2 (oreilles) * 44 100 (échantillons) *60 (secondes) *3 (minutes) = 254 016 000 chiffres binaires (environ un quart de milliards de chiffres).

Mis bout à bout, tous ces chiffres forment un nombre, compris entre 0 et . Ce dernier nombre est considérablement grand. Et quel que soit le nombre entier qui corresponde à ce CD, il appartient à l’intervalle .

Le concept de nombre univers devient également perturbant quand on commence à le transposer aux lettres. Par exemple n’importe quel mot peut être transformé en une suite de chiffres en utilisant le code A=01, B=02, …, Z=26, eh bien ce mot nom se trouve aussi quelque part dans un nombre univers.

Et on peut aller encore plus loin : l’intégralité du Seigneur des Anneaux de Tolkien, peut se traduire en chiffres, et donner une suite énorme mais finie, qui pourrait se trouver aussi quelque part dans un nombre univers. Et ça marche aussi avec la Bible, le brevet du téléphone de Graham Bell, ‘Germinal’ de Zola et aussi toute oeuvre passée, présente ou … à venir.

A l’heure de l’informatique et du numérique, tout n’est plus que chiffres : une photo en 20 millions de pixels des Tournesols de Van Gogh, un DVD de Bruce Springsteen, le code source de Facebook, toutes ces choses peuvent in fine se réduire à une suite finie que l’on pourrait trouver dans tous les nombres univers, et on sait qu’il en existe beaucoup (une infinité non-dénombrable).

Les nombres univers contiennent donc tous les livres possibles, tous les films possibles, toute musique possible (tout l’univers numérique). Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer une succession de lettres et de réessayer jusqu’à obtenir le livre que l’on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.

Quel est le plus grand nombre possible ?

.              L’infini de toute évidence !

Cependant, dans les années 1870, le mathématicien russe Georg Cantor a révélé l’existence de nombreux infinis différents, dont certains sont … plus grands que les autres ! Le plus ‘petit’ est celui que l’on obtient en comptant indéfiniment : 0, 1, 2, 3, … Il s’agit d’Aleph-zéro (aleph étant la première lettre de l’alphabet hébreu), le premier de ce que Cantor appelait les nombres transfinis. Ces nombres ont des propriétés à priori étranges. Par exemple, additionner ou multiplier n fois Aleph-zéro donne simplement … Aleph-zéro.

Cantor a également montré qu’il existait d’autres infinis encore plus grands, par exemple Aleph-un, un nombre si grand qu’on ne pourra jamais l’atteindre. Pour le mathématicien, il y a une infinité de nombres infinis, chacun supérieur au précédent, jusqu’à ce que l’on arrive au plus grand de tous, ‘l’infini absolu’ et représenté par la lettre oméga. Ce nombre est si grand qu’il est indescriptible.

Dans les années 1930, le prix Nobel anglais Paul Dirac a développé la théorie appelée ‘hypothèse des grands nombres’ utilisés en science, fondée sur la surprenante similitude de trois nombres :

.    le rapport entre la force électromagnétique et gravitationnelle à l’intérieur d’un atome d’hydrogène, (1039)

.    l’âge de l’univers, divisé par le temps qu’il faut à la lumière pour traverser un atome d’hydrogène, (1039 aussi)

.    la racine carrée du nombre de particules dans l’univers, (1039 = 1078^0.5)

Sans trop comprendre le rapport entre ces trois valeurs, son calcul a déterminé 1078 comme prétendant au plus grand nombre ayant une signification scientifique. Le nombre d’atomes dans l’univers est lui estimé à 1080

Les unités en Physique et en Astronomie

Le mètre est la distance parcourue dans le vide par la lumière en 1/299 792 458 ème de seconde. La seconde est l’unité mesurée la plus précisément.

Mais cette unité n’est pas adaptée à la mesure des longueurs d’ondes, ni à celle des distances dans le système solaire, dans la galaxie ou entre les galaxies.

La distance qui nous sépare du centre de notre galaxie est de 256 billiards de kilomètres. Ce qui n’est pas très grand, si on la compare à la distance qui nous sépare de la Grande Ourse, environ 18 trilliards de kilomètres, soit 18 mille milliards de milliards de kilomètres.

L’usage est d’utiliser des multiples ou sous-multiples du mètre. C’est le cas pour les longueurs d’ondes où le nanomètre est courant maintenant, et a remplacé l’ Ångström.

L’Ångström (Å) : 10-10 m

1 Å = 10-10 m          (d’après Anders Jonas Ångström, physicien suédois 1814-1874)

L’Angström est utilisé pour la mesure des distances inter-atomiques, et pour les longueurs d’ondes courtes (jusqu’à l’infrarouge). Il est de moins en moins accepté, et remplacé par l’unité officielle, le sous-multiple du mètre :

Le nanomètre         qui vaut un milliardième de mètre, soit         10-9 m.            1 Å = 0,1 nm.

Taille nanométrique : 10-9 m , 10-8 m  , 10-7 m

Ordre de grandeur des plus petites espèces vivantes (de 1 nm à 1 µm, soit 10-9 à 10-6 m) :

10-8 m : les virus ont une taille allant de 20 à 450 nm

10-7 m : la longueur d’onde de la lumière visible s’étend de 380 à 740 nm

Taille micrométrique : 10-6 à 10-3 m

Ordre de grandeur des cellules (de l’ordre de 1 µm à 1 mm, soit 10-6 à 10-3 m) :

10-6 m : une bactérie mesure de 1 à 10 µm

10-4 m : un cheveu mesure à peu près 80 µm de diamètre

Taille humaine : 10-3 à 10³ m

Ordre de grandeur des longueurs courantes dans le domaine humain (de l’ordre de 1 mm à 1 km, soit 10-3 à 10³ m) :

Taille planétaire : 10³ à 108 m

Ordre de grandeur des phénomènes géologiques (de 1 à 100 000 km, soit 10³ à 108 m) :

107 m = 10 000 km :

diamètre de la Terre : environ 13 000 km ;

circonférence de la Terre : environ 40 000 km.

Taille interplanétaire : (10³ à 108 m)

Ordre de grandeur des distances entre planètes dans le système solaire (de l’ordre de 100 000 à 10 milliards de km, soit 10³ à 108 m) :

108 m = 100 000 km :

distance parcourue par la lumière en une seconde : 300 000 km ;

distance moyenne entre la Terre et la Lune : 384 000 km.

1011 m = 100 millions de km

L’Unité Astronomique (UA) est l’unité de distance dans le système solaire. C’est la distance moyenne entre la Terre et le Soleil, autrement dit, le rayon moyen de l’orbite terrestre autour du Soleil.

1 UA = 1,495978706 .1011 m (environ 150 millions de km)

distance Terre-Soleil                    =          1    UA

distance Mars-Soleil                      =          1,52 UA

distance Jupiter-Soleil       =          5,4   UA

1012 m = 1 milliard de km :

demi-grand axe de l’orbite de Pluton : 5,9 milliards de km, soit 39,5 UA.

1013 m = 10 milliards de km :

rayon du système solaire : 14,4 milliards de km, soit 93 UA.

L’année-lumière  (AL)

C’est la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année julienne de

365,25 jours (31 557 600 secondes),

à la vitesse de 299 792 458 m/s, en dehors de tout champ gravitationnel ou magnétique.

1 AL = 9,460730472580800.1015 m ou environ 9 500 milliards de km, ou 9,5 pétamètres.

1 AL = 63 241,077 UA

Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche du Soleil est à 4,28 AL de la Terre.

Le Soleil est situé à 28 000 AL du centre de la Voie Lactée et tourne autour sur une orbite approximativement circulaire avec une vitesse de l’ordre de 220 km/s.

Notre galaxie a l’aspect d’un disque d’environ 100 000 AL de diamètre et 6 000 AL d’épaisseur, contenant de l’ordre de 1011 étoiles. La région centrale est un bulbe d’allure sphérique de 9 000 AL de rayon, qui contient l’essentiel de la masse galactique. Le diamètre du halo de la galaxie mesure environ 100 000 AL.

La grande galaxie la plus proche de nous, Andromède, est à 2,6 millions d’AL.

Le parsec (pc)

Le parsec est la distance à laquelle le rayon de l’orbite terrestre (1 UA) est vu sous un angle de 1’’.

1 pc = 3,261564 AL = 3,085677.1016 m.

Son nom vient de la contraction de « parallaxe-seconde ». Les astronomes professionnels parlent plus facilement en parsecs qu’en années-lumière. Les raisons en sont d’ordre pratique, des simplifications apparaissant dans les formules avec cette unité. La mesure de la parallaxe d’un astre en secondes est l’inverse de sa distance en parsecs.

Avec cette nouvelle unité, Proxima du Centaure est à 1,316 pc (parallaxe de 0,76 seconde).

Les distances dans l’univers étant très grandes, on utilise plutôt des multiples du parsec, comme le kilo ou le méga parsec (mille ou un million de parsecs).

Le Soleil est situé à environ 8,6 kpc du centre de la galaxie.

Le halo de la galaxie fait environ 30,7 kpc de diamètre.

Andromède est situé à 0,8 Mpc, et l’amas de la Vierge à 15 Mpc.

La masse solaire

La masse solaire est la masse actuelle du Soleil et est notée MS ou M_.

1 MS = 1,989 .1030 kg

La Voie Lactée a une masse d’environ 200 milliards MS, soit le contenu de 200 milliards de Soleils.

L’unité de masse atomique

L’unité de masse atomique (uma ou u) n’est pas une unité SI reconnue, mais elle est très utilisée par les chimistes et les physiciens des particules.

Elle représente la douzième partie de la masse de l’atome de carbone 12 non lié, au repos. Ce qui veut dire qu’un atome de carbone pèse 12 uma.

L’uma est une unité obtenue expérimentalement. On n’en connaît pas la valeur exacte.

1 uma = 1,660538782 .10-27 kg,   avec une incertitude relative de 5 * 10-8.

1 atome d’hydrogène        pèse       1 uma

1 atome d’oxygène                        pèse     16 uma

1 atome de fer                   pèse     56 uma

1 atome d’or                                  pèse    197 uma

1 atome d’uranium 235     pèse    235 uma

Les chimistes ont l’habitude de considérer non pas 1 atome de matière, mais un nombre considérable d’atomes, pour obtenir des poids mesurables en grammes.

Ce nombre est le nombre d’Avogadro :            N = 6,022 .1023.

Un groupe de N atomes est une mole d’atomes. La mole est une unité de base du système SI et représente une quantité de matière. Dans ces conditions, 1 mole de carbone pèse 12 grammes, une mole de fer pèse 56 grammes.

Une évaluation de la taille de l’énergie du vide quantique, permet une estimation, plutôt fantaisiste, de la valeur la plus petite ayant une signification scientifique à 10-120.

Etoiles vs Grains de sable !

Il existe dans notre galaxie entre 200 et 300 milliards d’étoiles. Le nombre de galaxies présentes dans l’univers est de 100 à 300 milliards. Il y aurait donc environ 5 * 1022 étoiles dans l’univers observable.

Si l’on considère les 1010 m3 de sable dans les côtes, les plages, les dunes, les déserts, en estimant 100 milliards de grains de sable par m3, on calcule 1021 grains de sable sur terre.

Il y aurait donc 50 fois plus d’étoiles que de grains de sable.

Si on convertissait chaque étoile en grain de sable, il y aurait de quoi recouvrir la terre d’une épaisseur de 10 cm.

Combien y-a-t-il d’atomes dans l’univers ?

On pourrait croire qu’il est impossible de compter les atomes de l’Univers et pourtant la science est capable d’en estimer le nombre. Elle aboutit à l’un des plus grands nombres qu’elle puisse concevoir.

La matière de l’Univers est principalement composée d’atomes d’hydrogène, dont la masse est concentrée dans le proton qui en constitue le noyau. Cette matière est contenue dans des étoiles. Combien une étoile contient-elle d’atomes ? Combien notre Univers contient-il d’étoiles ?

Notre Soleil est une étoile moyenne. Il a une masse de 2×1033 grammes.

Par ailleurs un gramme de matière contient 0,5×1024 atomes : en effet, la masse d’un proton est voisine de 1,7×10-24 grammes.

Le nombre d’atomes dans une étoile est obtenu en multipliant les deux nombres précédents, ce qui donne 1057.

Une étoile contient donc en gros 1057 atomes. Reste à compter les étoiles…

Notre propre galaxie, la Voie Lactée, contient environ 100 milliards d’étoiles, c’est-à-dire 1011. Notons précieusement que cette estimation ne peut pas être violemment fausse car on dispose de plusieurs moyens pour estimer la masse d’un objet, la méthode principale consistant à mesurer la vitesse d’un corps gravitant autour et à appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton.

Par conséquent notre galaxie compte 1011 fois 1057 atomes, soit 1068 atomes.

Notre galaxie est une galaxie moyenne, ni trop grosse ni trop maigre. Nous la prenons donc comme une galaxie-type. Les galaxies autres que la nôtre, on les compte ! La partie visible de notre univers en contiendrait peut-être un millier de milliards, soit 1012. Nous aboutissons à un nombre total d’atomes de 1012 fois 1068, soit 1080.

En chiffres « ronds », notre Univers contiendrait donc 1080 atomes dans sa partie accessible à nos yeux.

Ce nombre représente-t-il le nombre total d’atomes dans tout l’univers, y compris sa partie invisible ? Très probablement ! En effet, il n’y a pas lieu de penser que la taille de la partie visible de notre Univers soit inférieure à sa taille totale par plusieurs ordres de grandeur. Au contraire un principe « copernicien » veut que notre univers a un âge comparable à sa durée de vie totale (autrement dit, il n’est pas excessivement jeune, il a un âge moyen), ce qui implique, d’après les équations des univers en expansion, que la taille de sa portion visible (celle qui s’étend jusqu’à l’horizon cosmologique) est comparable à sa taille totale. Par conséquent, on peut penser que le nombre de galaxies dans l’univers entier est du même ordre de grandeur que le nombre de galaxies appartenant à sa partie observable (disons qu’un facteur d’au plus quelques dizaines les sépare). De toute façon, que le nombre retenu soit de 1079 ou de 1084 n’est pas d’une importance capitale…

.            Ce nombre estimé est cohérent avec le nombre de protons de l’univers visible calculé par Dirac (années 1930s), soit 1080, nombre égal (par hasard?) (au rapport entre le rayon de l’univers rapporté à la taille de l’électron, soit 1040 ), multiplié par (la relation entre les intensités des forces électriques et gravitationnelles entre un électron et un proton, soit 1040 ). Dirac refusa de voir une simple coïncidence entre ces valeurs et y décela le reflet d’un lien plus profond entre l’infiniment petit et l’infiniment grand.

Commentaires sur ce calcul.

  1. Bien que ce soit les plus grands que nous puissions concevoir en physique, ces nombre restent parfaitement mesurables.
  2. En particulier l’exposant de la puissance de 10 qui les représentent est un nombre, 40 et 80, ne comportent que 2 chiffres. Ces exposants peuvent paraître « petit » mais les puissances de 10 correspondantes sont gigantesques.
  3. Cette « règle » est générale : les nombres physiques sont représentés usuellement par des puissances de 10 dont les exposants ne font que 2 chiffres.
  4. Des nombres dont l’exposant ferait plus de 2 chiffres, par exemple 10 ou 100 chiffres, ou des milliers, ne correspondraient pas à des nombres en rapport avec la réalité. Bien que les mathématiques puissent en fabriquer facilement, de tels nombres sont dénués de sens physique.
  5. On pressent de la sorte que l’infini est une notion qui n’a aucun rapport avec le réel, puisqu’elle implique des exposants dépassant toute limite.
A propos de la bibliothèque de Babel et de Googleplex

La « Bibliothèque de Babel », une nouvelle écrite par Borges est troublante.

Cette bibliothèque de fiction contient tous les livres de 410 pages qu’il est possible d’écrire en combinant 25 symboles orthographiques. Tous les livres. Tous ceux qui ont été ou seront écrits, sans exception, dans leurs plus infimes variations. Tout ce qui peut être écrit au cours de l’éternité est là. Tous ce qui fait du sens et n’en fait pas. Cette bibliothèque est une métaphore de l’univers. Mieux encore, elle est l’expression d’un nombre-univers. Un nombre-univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie. Le code de toute chose.

Et cela donne quoi la valeur d’un nombre univers ? Tiens prenons justement le Gogol, qui a donné son nom à Google. Le gogol c’est le nom mathématique de 10100. 10 puissance 100, cela n’a l’air de rien, mais cette quantité se rapproche du nombre de bits d’information contenus dans tout l’univers.

Le meilleur calcul de la somme d’information contenue dans l’univers depuis le Big Bang a été effectué par Seth Lloyd, concepteur de l’ordinateur quantique et professeur au MIT : 10120 bits. Gogol est donc plus petit que le nombre de bits contenus dans l’univers.

Par contre, si l’on considère le gogolplex, soit 10 à la puissance gogol, on sort carrément du cadre. Au propre et au figuré. L’astrophysicien Carl Sagan estime avec humour et beaucoup de sérieux qu’écrire un tel nombre se heurterait à une impossibilité majeure, l’univers physique connu n’est pas assez grand pour le contenir. Plus prosaïquement Googleplex est le nom du QG de Google à Mountain View en Californie. Bien vu Google…