Nbr – Des Nombres Remarquables

Nombre parfait

Il est égal à la somme de ses diviseurs entiers stricts :

.                 6 = 1 + 2 + 3

.               28 = 1+ 2 + 4 + 7+ 14

Nombre abondant

Il est inférieur à la somme de ses diviseurs :

.               12 < 1 + 2 + 3+ 4 + 6

Nombre déficient

Il est supérieur à la somme de ses diviseurs :

.               8 > 1 + 2 + 4

Nombre circulaire ou amorphe

Nombre tel qu’il apparaît comme dernier chiffre quand il est élevé à une puissance :

Il est supérieur à la somme de ses diviseurs :

.               8 > 1 + 2 + 4

Nombre circulaire ou amorphe

Nombre tel qu’il apparaît comme dernier chiffre quand il est élevé à une puissance :

.               51 = 5            52 = 25          53 = 125

.               61 = 6            62 = 36          63 = 216

 Nombres amicaux

Couple de deux nombres dont la somme des diviseurs de l’un égale la valeur de l’autre :

.               220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (diviseurs de 284)

.               284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 +20 + 22 + 44 + 55 + 110 (diviseurs de 220)

Pi – Π

Il y a bien longtemps les géomètres comprirent que la longueur de la circonférence d’un cercle valait environ trois fois son diamètre. Dans le papyrus Rhind, Pi était égal au carré de 16/9, soit 3,16049. Les Babyloniens avaient calculé que le rapport était légèrement supérieur à 3 et utilisaient 31/8, très proche de l’approximation que l’on donne dans les livres d’école, 31/7. Au XVII° siècle av.JC, les Egyptiens l’avait estimé à 3.1605. 250 ans av. JC Archimède avait calculé 3.14. Ptolémée en 150 av.JC calculait 3.1416. Au IIIe siècle de notre ère, le mathématicien chinois Liu Hui inscrivit un polygone de 292 côtés dans un cercle, puis un autre polygone de 3.072 côtés pour calculer Pi. Il trouva 3,141024. En 480, Zu Chongzhi le calcula avec 7 digits avec la même méthode que son compatriote précédent. Il fallut attendre 800 ans, en 1630, pour que l’astronome autrichien Christoph Grienberger atteigne 38 digits, ce qui reste la plus grande précision calculée manuellement à partir d’algorithmes polygonaux.

Son appellation « pi » s’est imposée à partir du XVIII° siècle.

La série 4/1 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + … a été l’une des premières utilisées pour calculer les décimales de pi.

En 1873, le mathématicien anglais William Shanks établit un record du monde avec 707 décimales de pi calculées à la main, un travail colossal qui lui prit 15 ans (une décimale par semaine !).

Selon le postulat que les décimales de pi sont aléatoires, chaque chiffre de 0 et 9 doit constituer à peu près un dixième du résultat. On s’aperçut alors que le nombre de ‘7’ dans les calculs de Shanks était singulièrement inférieur aux 70 attendus. La raison ne fut découverte qu’en 1945 : Shanks avait commis une erreur de calcul à partir de la 527° décimale.

En 2002, le professeur Yasumasa Kanada et ses collègues de l’Information Technology Center de Tokyo ont atteint 1 200 milliards de décimales (après 125 jours de calcul du superordinateur Hitachi SR8000 capable d’effectuer un billion d’opérations par seconde). Le chiffre ‘7’ est apparu 119 999 740 505 fois, ce qui est à peu près un dixième du nombre de chiffres.

En 2011, les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru Kondo ont réussi à calculer plus de 13.000 milliards de décimales, après plus de 370 jours de calcul.

.          En 2013, un Japonais de 60 ans a battu son propre record du monde de mémorisation du nombre pi en récitant publiquement pendant plus de 16 heures 100.000 décimales, ont annoncé les organisateurs de l’événement.

Akira Haraguchi était déjà détenteur du record mondial en la matière, qui était de 83.431 décimales. Sa nouvelle récitation a commencé à 09h00 mardi matin et s’est achevée, sans aucune erreur, la nuit suivante vers 01h30.

L’épreuve s’est déroulée dans la salle de conférences de la mairie de Kisarazu, dans la banlieue est de Tokyo, sous le contrôle de fonctionnaires municipaux et avec une pause de dix minutes toutes les deux heures.

« Il a une façon spéciale de se rappeler les décimales, en pensant à des noms qui accompagnent les séries de chiffres », a expliqué un employé municipal.

« Je n’ai rien ressenti de sensationnel, j’ai juste vidé tout ce qu’il y avait dans ma mémoire », a commenté l’heureux détenteur du record.

pi = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.

Jadis, mystérieux, un problème bloquait Tout l’admirable procédé, l’oeuvre grandiose Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs. O quadrature ! Vieux tourment du philosophe !

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez Défié Pythagore et ses imitateurs. Comment intégrer l’espace plan circulaire ? Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira Dedans un hexagone ; appréciera son aire Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra : Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l’orbe calculée approchera ; Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle ! Professeur, enseignez son problème avec zèle !

Note: On connaît parfois le premier couplet de ce poème destiné à retrouver les 126 premières décimales de Pi (compter le nombre de lettres de chaque mot) mais rarement le poème en entier.

Ci-dessous, environ le dixième de ce que le Japonais Akira Haraguchi a récité le 04 octobre 2006 !

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 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7091548141 6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923 2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730 5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656 1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100 4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658 2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780 2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396 6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056 4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045 3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560 8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800 7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407 1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830 6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254 2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923 0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011 2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901 9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599 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5859548702 7908143562 4014517180 6246436267 9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835 3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987 0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927 7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113 8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130 4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415 9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972 8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773 4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256 2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460 2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377 9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455 2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261 8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737 2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364 3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745 1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400 6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510 2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766 8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047 4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123 2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010 2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610 3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501 9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536 1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617 2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258 8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594 0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989 8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867 4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938 1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834 3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029 9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722 0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278 1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605 2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623 3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348 2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611 0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486 3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623 5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862 9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051 3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570 1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634 8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026 9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183 7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157 9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174 8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127 5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026 6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378 5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558 7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291 6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529 7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066 9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034 4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228 8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177 1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968 3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276 5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296 4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041 9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212 7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356 3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522 7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153 2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017 9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323 2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345 9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505 4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885 6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298 9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628 6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046 9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801 2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556 0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417 2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581 2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734 5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412 2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934 1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070 7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848 3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105 7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973 5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274 2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001 2645600162  3742880210

Nombre cyclique (nombre phénix)

C’est un entier naturel dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux multiples du nombre. Pour être cyclique, seuls les multiples successifs du nombre doivent être considérés. Le plus connu est 142857 :

.             142857 × 1 = 142857

.             142857 × 2 = 285714

.             142857 × 3 = 428571

.             142857 × 4 = 571428

.             142857 × 5 = 714285

.             142857 × 6 = 857142

Nombre d’or

Le nombre d’or est la ‘divine’ proportion, définie en géométrie comme l’unique rapport a / b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-à-dire lorsque (a+b) / a = a / b. Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d’or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi).

.            

Ce nombre irrationnel est l’unique solution positive de l’équation x2 – x – 1 = 0. Il vaut exactement : (1 + ⱱ5) / 2, soit approximativement 1.618 033 988 749 894 848 204 596 63   ou encore  1.618034.

.             1  /  1.618034  =  0.618034        [ 1 /  φ =  φ – 1 ]

.             1.618034  *  1.618034  =  2.618034        [ φ * φ  =  φ + 1 ]

.             1.618034 / 0.618034  =  2.618034  = 1 + 1.618034       [ φ / (φ – 1) =  φ + 1 ]

.             2.618034   x   12 / 10   =  ~    3.1416   =   Π     [ (φ + 1) * 12 / 10  =  Π ]

.                              12 / 10   =  Intervalle musical de tierce (entre gamme majeure et gamme mineure)          

Les grands mathématiciens en ont parlé sagement : Euclide (trois siècles avant J.-C) l’appelait « la proportion de moyenne et extrême raison ». Leonard de Pise, dit Fibonacci (XIIe siècle), l’a introduite par ses célèbres séries. Le moine mathématicien Luca Pacioli a publié (début du XVIe siècle) un ouvrage intitulé Divina proportione (son ami Leonard de Vinci préférait la nommer « section dorée »). L’astronome Kepler (fin du XVIe siècle), lui, parlait de « joyau de la géométrie ». Ce qui a frappé les Anciens, c’est la qualité particulière de ce rectangle qui manifeste la « divine proportion », c’est-à-dire la représentation esthétique la plus harmonieuse d’une figure rectangulaire et nommée pour cela le « rectangle d’or« . Le nombre d’or est la valeur de proportion qui peut être qualifiée de « naturelle ».

On rencontre fréquemment la spirale logarithmique dans la disposition des graines dans les fleurs, ou dans les coquillages (ou encore les coquilles d’escargot). Une spirale logarithmique s’enfonce sans fin et tend rapidement vers un point O autour duquel elle s’enroule de plus en plus près. Ce point est appelé le centre de la spirale. Appelée spirale de Bernoulli, elle a de nombreuses propriétés. L’une d’elles est que le segment de droite qui joint le centre O. à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d’or chaque fois que sa direction tourne d’un quart de tour.

.                 

Suite de FIBONACCI : n i = n i-2 + n i-1

.               1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , …

Nombre machine

Même avec un système informatique irréprochable, la plupart des calculs conduisent inévitablement à des erreurs, heureusement repérables dans la majorité des cas. En effet, le résultat d’une opération sur ordinateur ne peut presque jamais être représenté exactement!

Les nombres représentables exactement, qui forment un sous-ensemble des nombres rationnels, sont appelés nombres machine. Tous les autres doivent être arrondis, c’est-à-dire fournir un nombre machine proche du résultat exact. Seuls les rationnels dont la forme irréductible est n / (2^q), peuvent avoir une représentation exacte ; les autres ont nécessairement une représentation approchée (par exemple, le nombre décimal 1/10 est converti en base 2 en 0.0 0011 0011…, la partie coloriée étant répétée indéfiniment)

Une succession d’arrondis peut conduire à catastrophes comme dans l’exemple qui suit:

Le 25 février 1991, pendant la Guerre du Golfe, une batterie américaine de missiles Patriot, à Dharan (Arabie Saoudite), a échoué dans l’interception d’un missile Scud irakien. Le Scud a frappé un baraquement de l’armée américaine et a tué 28 soldats. La commission d’enquête a conclu à un calcul incorrect du temps de parcours, dû à un problème d’arrondi. Les nombres étaient représentés en virgule fixe sur 24 bits. Le temps était compté par l’horloge interne du système en 1/10 de seconde. Malheureusement, 1/10 n’a pas d’écriture finie dans le système binaire : 1/10 = 0,1 (dans le système décimal) = 0,0001100110011001100110011… (dans le système binaire). L’ordinateur de bord arrondissait 1/10 à 24 chiffres, d’où une petite erreur dans le décompte du temps pour chaque 1/10 de seconde. Au moment de l’attaque, la batterie de missile Patriot était allumée depuis environ 100 heures, ce qui avait entraîné une accumulation des erreurs d’arrondi de 0,34 s. Pendant ce temps, un missile Scud parcourt environ 500 m, ce qui explique que le Patriot soit passé à côté de sa cible

Le zéro

Sunya signifie vide en sanscrit, le zéro y est représenté par un petit rond (pourquoi un rond? on ne le sait pas vraiment). Traduit en arabe, sunya devient Sifr (le vide).

Le zéro est entré en Occident au 12e siècle, traduit en italien, sifr donna zéfirum, mot que Léonard de Pise (vers 1170 – 1250) utilise dans son liber abaci et que l’on utilisera jusqu’au 15e siècle. Après quelques modifications, ce mot aboutit à zéfiro, qui donnera zéro à partir de 1491.

Le zéro est une invention récente dans l’histoire de l’humanité. Il n’est donc pas étonnant qu’il pose tant de problèmes aux élèves : c’est parce quand ils le rencontrent pour la première fois on leur explique que « zéro c’est rien », du coup 2 divisé par 0 est égal pour certains à 2, logique puisqu’on divise 2 par rien ce qui revient à ne pas le diviser, pour d’autres 2 divisé par 0 égal 0 puisqu’en divisant par rien on doit obtenir rien !

Chez certains 0 divisé par un nombre est impossible car on ne peut diviser le rien ! Finalement les élèves rencontrent les mêmes difficultés qu’ont rencontrés les hommes au cours de leur histoire, il n’est pas évident de concevoir 0 comme un nombre à part entière.

Les chiffres romains

Les chiffres romains étaient utilisés par les romains de l’antiquité pour, écrire des nombres entiers jusqu’à environ 4 999 à partir de seulement sept lettres.

Contrairement à l’idée reçue, les chiffres romains ne sont pas acronymiques : le symbole qui représente le chiffre n’est pas l’initiale du chiffre en question. Ainsi, C n’est pas l’abréviation de centum, ni M celle de mille. Ils proviendraient plutôt d’anciennes entailles dont les figures ont fini par être confondues avec des lettres.

Le repérage n’est pas aisé dès que le nombre d’encoches dépasse une poignée, parce que l’oeil ne perçoit pas clairement les collections au-delà de trois ou quatre items: lire IIIIIIII est pratiquement impossible (par comparaison à VIII, beaucoup plus simple). Le berger, sur son bâton, est naturellement conduit à intercaler régulièrement des encoches de forme différente, pour servir de repère visuel; et le regroupement naturel (pour un berger comptant sur ses doigts) est par groupes de cinq. Un tel regroupement est toujours utilisé de nos jours sur les règles à mesurer.

Le repère « cinq » naturel pourra être une encoche plus longue (utilisée sur les règles), ou en biais (utilisée sur les tailles), mais ces deux marques ne se différencient pas bien des encoches simples quand il s’agit de les transcrire. Les marques simples finalement utilisées sont formées par une encoche double (en forme de V)

.              I                  1

.              V                5

.              X              10

.              L              50

.              C            100

.              D            500

.              M          1000

Un nombre écrit en chiffres romains se lit de gauche à droite : si un chiffre est plus grand ou égal à son successeur, on l’ajoute à la somme ; s’il est plus petit, on le soustrait. Ainsi,

.               XXVI  =  10 + 10 + 5 + 1  =  26 ;                       XXIV  =  10 + 10 + (5-1)  =  24.

La langue latine confirme l’ancienneté du procédé soustractif : ainsi, dix-neuf se dit undeviginti (« un ôté de vingt ») et dix-huit duodeviginti (« deux ôté de vingt »).

Le système de numération romain est un système décimal où le zéro n’existait pas, ce qui rendait les calculs difficiles.

Les géomètres et les comptables ont donc besoin d’instruments qui les aident à calculer. À l’époque républicaine, les Romains utilisent un abaque compteur: il s’agit d’une table, divisée en colonnes dont chacune représente une puissance de dix, dans l’ordre décroissant de gauche à droite.

Nombre sphénique

Entier strictement positif qui est le produit de trois facteurs premiers distincts, exprimés une seule fois.

Tous les nombres sphéniques ont exactement huit diviseurs. Si nous exprimons un nombre sphénique sous la forme n = p * q * r, où p, q et r sont des nombres premiers distincts, alors l’ensemble de ses diviseurs est :

.               { 1, p, q, r, p q, p r, q r, n }.

Par définition, tous les nombres sphéniques sont des entiers sans facteur carré. L’image d’un nombre sphénique par la fonction de Möbius vaut −1.

Les quelques premiers nombres sphéniques sont :

.               30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, …

On aura :

.                    30  =  2 × 3 × 5,          42  =  2 × 3 × 7, 66 = 2 × 3 × 11,            70  =  2 × 5 × 7, 78 = 2 × 3 × 13

Les deux premiers nombres sphéniques consécutifs sont

.                  230  =  2 × 5 × 23     et      231  =  3 × 7 × 11.

Les trois premiers consécutifs sont

.                1309  =  7 × 11 × 17,      1310  =  2 × 5 × 131       et   1311  =  3 × 19 × 23.

Il est impossible d’avoir quatre nombres sphéniques consécutifs, puisque sur quatre entiers strictement positifs consécutifs, il y en a un divisible par 4  =  2 × 2 : cet entier ne sera donc pas sans facteur carré.

En février 2013, le plus grand nombre sphénique connu est

.              (257 885 161 − 1) × (243 112 609 − 1) × (242 643 801 − 1)

puisque c’est le produit des trois plus grands nombres premiers connus.

Entier sans facteur carré

(souvent appelé, par tradition ou commodité quadratfrei ou squarefree) est un entier relatif divisible par aucun carré parfait, excepté 1.

Par exemple, 10 est sans facteur carré contrairement à 18 qui est divisible par 9 = 2. Les dix plus petits nombres sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14.

Nombre heureux

Un nombre heureux est un nombre entier tel que, lorsqu’on ajoute les carrés de chacun de ses chiffres, puis les carrés des chiffres de la somme obtenue et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre, on obtienne 1 pour résultat.

À l’inverse, les nombres qui ne sont pas heureux sont appelés nombres malheureux.

Ainsi, 13 est heureux, puisque la suite associée à l’itération décrite est :

.                12 + 32 =  10 ,  puis :   12 + 02 =  1

19 aussi :

.                12 + 92 =  82  , puis :    82 + 22 =   68 , puis :   62 + 82 =  100 , puis : 12 + 02 + 02 =  1

Avec 2008:

.                22 + 82 =  68 , puis : 62 + 82 =  100 , puis : 12 + 02 + 02 =  1

Il est vrai que les nombres heureux sont largement moins représentés que les nombres malheureux et ils ne sont pas répartis régulièrement : on en compte 19 inférieurs à 100, 100 inférieurs à 701, 142 inférieurs à 1000

Nombre narcissique de puissance p

Un nombre narcissique de puissance p est un entier naturel égal à la somme de chacun de ses chiffres élevés à la puissance p. Exemples :

.                153         =  13 + 53 + 33                                  (p = 3)

.                548 834  =  56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46          (p = 6)

Nombre carrément carré

Un nombre « carrément carré » est un nombre carré d’un entier, à nombre pair de chiffres et sécable en deux carrés d’entiers non nuls comme l’indiquent les exemples suivants :

Le premier de ces nombres est :        49  =           7² ,      car      :    4 =  2²     et          9 =  3²

Les suivants sont :                             1 681  =         41² ,     car          16 =   4²    et        81 =  9²

.                                                        144 400  =       380² ,     car        144 = 12²    et      400 = 20²

.                                                        225 625  =       475² ,     car        225 = 15²    et      625 = 25²

.                                                        256 036  =       506² ,     car        256 = 16²    et        36 =   6²

.                                                        324 900  =      570² ,      car        324 = 18²    et      900 = 30²

.                                                        576 081  =      759² ,      car        576 = 24²    et        81 =   9²

.                                                   24 019 801  =   4 901² ,      car     2 401 = 49²    et   9 801 = 99²

La suite des nombres « carrément carrés » serait illimitée ?

Nombre univers

Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie pour une base donnée (toute séquence finie de chiffres y est présente au moins une fois.)

Certains nombres sont beaucoup plus riches que d’autres. Quand on regarde l’écriture des nombres sous forme décimale, certains n’ont qu’un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple

.                     11  /  8  =  1.375

alors que d’autres peuvent en avoir un nombre infini, par exemple

.                     22  /  7  =  3.142857 142857 142857 142857 142857 142857…

On peut remarquer que dans le cas ci-dessus, les décimales sont toujours les mêmes : le motif 142857 se répète à l’infini. Et ça n’est pas une exception puisqu’en fait tout nombre rationnel (c’est-à-dire tout nombre qui s’écrit comme une fraction) possède un développement décimal périodique.

Pour obtenir des développements décimaux non-périodiques, il faut aller chercher du côté des nombres irrationnels. Par exemple :

.               √2 = 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737…

Mais parmi ces nombres réels ayant un développement décimal infini, certains ont une propriété supplémentaire bien particulière. On les appelle les nombres univers.

Par exemple, on soupçonne fortement Pi d’être un nombre univers (bien qu’il n’en existe pas de preuve à ce jour). Cela signifie que si on prend une suite finie de chiffres au hasard, disons « 5791459 », alors quelque part dans les décimales de Pi, on peut trouver cette suite (d’ailleurs elle se trouve à la position n° 28 176 122, tout comme la suite 1234 arrive à la position 13 807). Ainsi toute suite finie pourrait se trouver dans les décimales de Pi, on pourrait s’amuser à y chercher sa date de naissance, ou son numéro de sécurité sociale, etc.

On sait construire des nombres univers. La suite définie par n fois le zéro entre les nombres successifs

.               0,10200300000040000000000005…

est un exemple de nombre univers non normal.

Le nombre normal

Un nombre univers est une version plus faible du concept de nombre normal : tout nombre normal est aussi un nombre univers, mais la réciproque est fausse: dans un nombre normal, pour une base donnée, chaque séquence apparaît une infinité de fois et selon une statistique équi-répartie. Ses décimales vérifient des propriétés statistiques qu’on retrouve dans une suite de nombres tirés au hasard.

Dans un nombre univers, on ne garantit que l’existence d’au moins une occurrence de chaque séquence, et aucune propriété statistique sur leurs fréquences relatives.

Constante de Champernowe

La constante de Champernowne (0,123456789101112…) est un autre exemple de nombre univers en base 10. En mathématiques, la constante de Champernowne, notée C10 est un nombre réel, nommé ainsi en l’honneur du mathématicien D. G. Champernowne. C’est un nombre simple à construire, qui possède certaines propriétés importantes. Il s’agit notamment d’un nombre univers.

En base 10, il vient en juxtaposant à ‘l’infini la suite des entiers (0,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …)

Par exemple, on trouve la séquence 215365, au moins, quand on arrive au nombre 215 365

On la trouve aussi en passant au niveau des deux nombres consécutifs:

.               365 215, 365 216

Il y a un théorème qui affirme que : Pour toute séquence de chiffres C1 C2 … Cn il existe une certaine puissance de 2 dont l’écriture décimale commence par C1 C2 …Cn.

Ainsi la suite des puissances de 2

.               2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

constitue un nombre univers.

Nombres congruents

Imaginez un calcul faisant intervenir des nombres si grands qu’écrits à la main, ils couvriraient deux fois la distance Terre-Lune. C’est la prouesse que vient de réaliser une équipe internationale de mathématiciens pour résoudre un problème mathématique vieux de plus de 1000 ans : le recensement des nombres congruents. La question des nombres congruents aurait été mentionnée dans un manuscrit arabe du dixième siècle, selon Dickson, ce qui en fait d’elle une des plus anciennes questions arithmétiques ouvertes. Le problème est de déterminer les entiers positifs d, qu’on appelle nombres congruents, pour lesquels il existe un triangle rectangle dont tous les côtés sont des nombres rationnels et l’aire est d.

On montre en effet que la recherche des nombres congruents équivaut à celle des triangles rectangles ayant pour côtés des entiers ou fractions d’entiers (nombres rationnels), et dont l’aire est un entier : leur aire est un nombre congruent.

Le nombre 6 est congruent, car c’est l’aire du triangle rectangle de côtés  3,  4,  5. que tout le monde a rencontré lors de la leçon sur le théorème de Pythagore (notez que 3^2 + 4^2  =  5^2).

.               

Les premiers nombres congruents sont

.               5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23.

Bien que simple à énoncer la recherche n’est pas anodine. Si on analyse le nombre 5 c’est un peu plus compliqué, l’aire du triangle de côtés : 20 / 3, 3 / 2 et 41 / 6 est bien 5.

Répartis en deux équipes, les mathématiciens ont calculé, selon deux algorithmes, tous les nombres congruents jusqu’à mille milliards.

Nombre de la bête

L’hexakosioihexekontahexaphobie (littéralement, « peur du nombre six cent soixante-six ») est la phobie du nombre de la Bête ou chiffre de la Bête. Celui-ci est contenu dans l’Apocalypse de Jean, au chapitre 13, versets 11-18. Ces versets indiquent que le nombre 666 est le Nombre de la bête, bête associée à Satan ou à l’Antéchrist. Il n’y a que deux occurrences de ce nombre dans les textes de l’Ancien Testament : les 666 fils d’Adoniqam qui revinrent à Jérusalem avec Zorobabel ; le poids de l’or en talents qui revenait à Salomon en une seule année.

En dehors de la foi, cette phobie a été popularisée. Certes, ce nombre est un peu curieux:

Calculez :          (6 x 6 x 6) + (6 x 6 x 6) + (6 x 6 x 6) + (6 + 6 + 6)  =  666

Ou bien :           1 + 2 + 3 + … + 35 + 36  =  666

.                         123 + 231 + 312             =  666

.                         132 + 213 + 321             =  666

Par ailleurs :      sin° (666) = cos° (6 x 6 x 6)  =  cos° (216) = – φ / 2 (nombre d’or / 2)

.                         666 + 6 + 6 + 6 = 684

.                         666 + 6 + 8 + 4 = 684

Une histoire bien intéressante existe en ce qui concerne la création du jeu de la roulette des casinos. Cette histoire veut que le créateur de ce jeu ait voulu vendre son âme au diable en échange d’un jeu qui le rendrait riche, le résultat fut ceci: le jeu de la roulette comporte les chiffres de 0 à 36, dont la somme égale 666.

Par ailleurs, on retrouve le nombre 666 pour une interprétation fantaisiste du début du débarquement du 6 juin 1944 à 6 h : 6ème jour du 6ème mois de la 6ème année de guerre ou 6ème heure du 6ème jour du 6ème mois. De même 1+9+4+4 = 6+6+6.

Un nombre entier n est appelé “Puissance apocalyptique si 2^n contient consécutivement 666.

Le premier est                      157 :          2^157 = 182 687 704 666 363 * 10^33

Les 9 suivants sont :            192, 218, 220, 222, 224, 226, 243, 245, 247, et il y en a 6 485 inférieurs à 10 000.

Conjecture de Goldbach

On appelle « conjecture » un résultat dont on pense qu’il est vrai mais dont on n’a aucune preuve.

Par exemple, en 1472, Christian Goldbach affirmait sans démonstration à son collègue mathématicien Leonhard Euler : « Tout nombre pair (strictement supérieur à 2) est la somme de deux nombres premiers ». Exemples

.                         18  = 11 + 7    ;           20  = 7 + 13. …

On n’a toujours pas de démonstration.

Nombres premiers

Presque tous les nombres peuvent se décomposer en un produit de nombres entiers plus petits:

.                         4  (2 × 2),          6  (2 × 3),         8  (2 × 2 × 2),            9  (3 × 3),         etc.

Ceux qui ne le peuvent pas sont appelés « nombres premiers ». C’est le cas de

.                         2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.

Un nombre entier est premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts entiers et positifs (1 et lui-même). Ainsi 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur entier positif ; 0 non plus, car il est divisible par tous les entiers positifs.

Il y a 2000 ans, Euclide a démontré qu’il existait une infinité de ces « briques élémentaires » de l’arithmétique. Cela veut dire que l’on pourra toujours trouver de nouveaux nombres premiers. La seule limite réside aujourd’hui dans la puissance de calcul des ordinateurs.

En 2013, le plus grand nombre premier connu faisait plus de 17 millions de chiffres. Il aura fallu près de deux ans pour le détrôner. Début janvier 2016, Dr Curtis Cooper, professeur à l’University of Central Missouri a calculé un nouveau mastodonte de 22 millions de chiffres. Si on l’imprimait de telle façon que chaque chiffre qui le compose fasse un millimètre de large, l’ensemble ferait 22 km de long ! Il remplirait aisément à lui seul une vingtaine de livres de 400 pages chacun.

Depuis 1996, 14 nombres premiers, les plus longs connus à ce jour, ont ainsi été découverts.

Des nombres particuliers ont été « inventés » au début du XVIIe siècle par un moine français, Marin Mersenne. Ils sont formés en multipliant le chiffre 2 par lui-même un certain nombre de fois, puis en retranchant 1 au résultat. On les note ainsi (2n – 1). Il se trouve que lorsque le nombre n est premier, le nombre de Mersenne associé est, de temps en temps, premier lui aussi.

En l’occurrence, c’est en multipliant 74 207 281 fois le chiffre deux par lui-même que l’on obtient le dernier né :     2^74 207 281  –  1.

Grâce à l’algorithmique de Lucas, 39 jours de calcul ont suffi à l’ordinateur de l’université américaine pour vérifier la primalité du nouveau recordman du monde.

S’il existe une infinité de nombres premiers, on ne sait pas s’il existe une infinité de nombres de Mersenne qui le sont.

Le crible d’Ératosthène

Le crible d’Ératosthène consiste à écrire tous les nombres d’un intervalle donné, puis à éliminer méthodiquement les multiples des nombres premiers successifs déjà connus, en s’arrêtant à la racine carrée de la borne supérieure de l’intervalle. Les nombres restants sont les nombres premiers de l’intervalle.

On a récemment utilisé le crible d’Eratosthène pour compter exactement les nombres premiers jumeaux (c’est-à-dire séparés de deux unités, comme 11 et 13) inférieurs à 10^15, ainsi que pour étudier les écarts entre les nombres premiers. À cette occasion, on a appliqué le crible par tranches de 10^10 : après avoir sauvé les informations désirées, on effaçait les résultats du calcul de chacune de 100.000 tranches (sauf la première) afin de traiter la suivante.

Si, au lieu de les effacer, on avait sauvé à chaque fois les résultats intermédiaires, on aurait disposé de la table des 29 844 570 422 669 nombres premiers inférieurs à 10^15. Le stockage de cette table aurait nécessité une mémoire de 20.10^12 octets, soit plus de 30.000 CD-ROM de 650 mégaoctets chacun, ou plus de 1.000 DVD double face double couche de 17 gigaoctets chacun (ce sont les DVD de plus grande capacité aujourd’hui). Il est clair que pour connaître des nombres premiers de 20 chiffres ou plus ou pour factoriser des entiers de cette taille, le crible d’Ératosthène ne convient pas.

Constituer de très grandes tables de nombres premiers est impossible — à cause de la mémoire nécessaire — et inutile, car on dispose d’autres méthodes pour connaître la primalité : il vaut mieux recalculer que stocker. Aujourd’hui, on sait tester si un nombre entier quelconque de 100 chiffres est premier, alors qu’un ordinateur de la taille du Système solaire ne suffirait pas à stocker la table de tous les nombres premiers inférieurs à 10^100.

Le nombre record actuel (2013) a dépassé la barre des dix millions de chiffres. 

Quelques exemples de décompositions en facteurs premiers

                                   1 111 111  =  239 x 4 649

                                            100  =  2 x 2 x 5 x 5

                            123 456 789  =  32 x 3.803 x 3.607

                                         1 024  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^10

                                      65 000  =  2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 13 = 23 x 54 x 13

            1 515 151 515 151 515  =  3 x 5 x 17 x 73 x 101 x 137 x 5 882 353

 23 571 113 171 923 293 137  =  7 x 672 x 151 x 4 967 701 595 369

1 000 000 000 000 000 000 000 001  =  17 x 9 999 999 900 000 001 x 5 882 353

Nombres premiers jumeaux

En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers.

Nombres premiers jumeaux jusqu’à 1000 :

(3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109) (137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199) (227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311,313) (347, 349) (419, 421) (431, 433) (461, 463) (521, 523) (569, 571) (599, 601) (617,619) (641, 643) (659, 661) (809, 811) (821, 823) (827, 829) (857, 859) (881, 883)

Quelques propriétés :

Le couple (2, 3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.

En omettant le couple (2, 3), 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.

Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l’exception du couple (3, 5)) est de la forme (6n – 1, 6n + 1) pour un certain entier naturel n. En effet, toute série de trois entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l’entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l’un des nombres premiers.

Alors que la série des inverses des nombres premiers est divergente, la série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente (vers un nombre appelé constante de Brun.

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Nombres premiers cousins

Deux nombres premiers cousins sont deux nombres premiers qui diffèrent de quatre.

Exemple : 193 est un nombre premier jumeau avec 191 et un nombre premier cousin avec 197. Les nombres premiers cousins inférieurs à 1 000 sont :

(3, 7) (7, 11) (13, 17) (19, 23) (37, 41) (43, 47) (67, 71) (79, 83) (97, 101) (103, 107) (109,113) (127, 131) (163, 167) (193, 197) (223, 227) (229, 233) (277, 281) (307, 311) (313,317) (349, 353) (379, 383) (397, 401) (439, 443) (457, 461) (487, 491) (499, 503) (613, 617) (643, 647) (673, 677) (739, 743) (757, 761) (769, 773) (823, 827) (853, 857) (859, 863) (877, 881) (883, 887) (907, 911) (937, 941) (967, 971)

Il découle de la première Conjecture de Hardy-Littlewood que les nombres premiers cousins ont la même densité asymptotique que les nombres premiers jumeaux.

Nombres premiers sexy

Deux nombres premiers sexy sont deux nombres premiers qui diffèrent de six. Le terme «sexy» est un jeu de mot basé sur le mot latin pour « six » : sex.

Les couples de nombres premiers sexy inférieurs à 500 sont :

(5,11) (7,13) (11,17) (13,19) (17,23) (23,29) (31,37) (37,43) (41,47) (47,53) (53,59) (61,67) (67,73) (73,79) (83,89) (97,103) (101,107) (103,109) (107,113) (131,137) (151,157) (157,163) (167,173) (173,179) (191,197) (193,199) (223,229) (227,233) (233,239) (251,257) (257,263) (263,269) (271,277) (277,283) (307,313) (311,317) (331,337) (347,353) (353,359) (367,373) (373,379) (383,389) (433,439) (443,449) (457,463) (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu était (p, p+6) pour

.                p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² – 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1,

où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres.

Comme pour les nombres premiers jumeaux, il en existe probablement une infinité mais cela n’est pas démontré.

Primorielle

Notée n# ou P(n), pour un nombre entier n, c’est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n.

Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est une primorielle.

.                  p                                 P(p)

.                  2                                    2

.                  3                                   6

.                  5                                 30

.                  7                               210

.                11                            2 310

.                13                           30 030

.                17                        510 510

.                19                     9 699 690

.                23                 223 092 870

.                29              6 469 693 230

.                31           200 560 490 130

.                37        7 420 738 134 810

Triplets

Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Ce sont les triplets de nombres premiers sexys de la forme (p, p+6, p+12).

Les triplets inférieurs à 1 000 sont :

(7,13,19) (17, 23, 29) (31, 37, 43) (47, 53, 59) (67, 73, 79) (97, 103, 109) (101, 107, 113) (151,157, 163) (167, 173, 179) (227, 233, 239) (257, 263, 269) (271, 277, 283) (347, 353, 359) (367, 373, 379) (557, 563, 569) (587, 593, 599) (607, 613, 619) (647, 653, 659) (727, 733, 739) (941, 947, 953) (971, 977, 983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu était (p, p+6, p+12) pour :

.                p = (84055657369 × 205881 × 4001# × (205881 × 4001# + 1) + 210) × (205881 × 4001# – 1) / 35 + 1.

Il comporte 5 132 chiffres.

Quadruplets

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l’exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par « 1 ».

Les quadruplets inférieurs à 1 000 sont :

(5, 11, 17, 23) (11, 17, 23, 29) (41, 47, 53, 59) (61, 67, 73, 79) (251, 257, 263, 269) (601,607, 613, 619) (641, 647, 653, 659)

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu était (p, p+6, p+12, p+18) pour :

.                p = 411784973 × 2347# + 3301

Il comporte 1 002 chiffres.

Quintuplets

Comme chaque sixième nombre de la forme 6n – 1 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5,11,17,23,29), et il n’est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.).

Nombre premier de Sophie Germain

Un nombre premier « p » est appelé nombre premier de Sophie Germain, noté « G » dans cet article, si « 2p + 1 » est aussi un nombre premier. Le nombre premier résultant (« 2G + 1 »), noté « S » dans cet article, est alors appelé nombre premier sûr.

Ces nombres premiers particuliers ont reçu une signification en raison de la démonstration de Sophie Germain à propos de la véracité du dernier théorème de Fermat pour de tels nombres premiers.

Il est conjecturé qu’il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, ceci n’a pour le moment pas été démontré.

Les premiers nombres premiers de Sophie Germain sont :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229, 1 289, …

Les nombres premiers palindromes

Le nombre 11 est le seul nombre palindrome à deux chiffres qui soit premier : en effet, un tel nombre est de la forme XX, donc multiple de 11. Plus généralement, à l’exception de 11, il n’existe aucun nombre premier palindrome ayant un nombre pair de chiffres.

En revanche, il existe 15 nombres premiers palindromes à trois chiffres :

.                101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Notez qu’aucun n’a pour chiffre des centaines 2, 4, 5, 6 et 8.

Il existe 93 nombres premiers palindromes à cinq chiffres, et 668 à sept chiffres. Parmi ces derniers, mentionnons le quadruplet suivant (chiffre central en gras) :

.                1878781 — 1879781 — 1880881 — 1881881

Cette suite est remarquable, car elle est composée de quatre nombres premiers palindromes pris dans quatre groupes consécutifs de 1 000 (c’est l’unique cas de ce type). Tous les nombres premiers palindromes de 11, 13 et 15 chiffres ont été calculés par Martin Eibl. Le 9 juin 1998, ceux à 17 chiffres ont été calculés par Carlos Rivera. Ce Mexicain, passionné de nombres premiers, n’est pas un chercheur : il travaille dans l’industrie des céramiques à Monterrey, mais il a trouvé le temps de mettre en place un site Internet où il présente toutes sortes de propriétés et d’énigmes récréatives concernant les nombres premiers palindromes.

Voici quelques-unes des identités amusantes notées par Rivera.

Entre nombres premiers palindromes à trois chiffres :

.                101 + 131 + 151 = 383

Du même type, avec des palindromes premiers à cinq chiffres :

.                30103 + 30203 + 30403 = 90709

Plus impressionnante, entre palindromes premiers à 43 chiffres :

.                +   1000000000000002109952599012000000000000001

.                +   1000000000000002110000000112000000000000001

.                +   1000000000000002110025200112000000000000001

.                =   3000000000000006329977799236000000000000003

Cette égalité est la plus petite possible de sa catégorie (une somme de trois nombres premiers palindromes de 43 chiffres donnant un nombre premier palindrome de 43 chiffres). Toutefois, ce n’est qu’une égalité simple à côté de la suivante, où l’on a utilisé la notation (0)n pour désigner une suite de n zéros consécutifs. Il s’agit cette fois d’une égalité entre nombres premiers palindromes de 191 chiffres (notez que 191 est aussi un nombre premier palindrome) :

.                +   1 (0)87 132298010892231 (0)87 1

.                +   1 (0)87 132300858003231 (0)87 1

.                +   1 (0)87 132301111103231 (0)87 1

.                =   3 (0)87 396899979998693 (0)87 3

Toujours plus fort (ou plus absurde, selon les goûts), Rivera a découvert que le nombre premier palindrome 71317 s’écrit de trois façons différentes comme somme de nombres premiers consécutifs :

.                71317 = 2351 + 2357 + … + 2579 + 2591 (29 nombres premiers consécutifs)

.                71317 = 10163 + 10169 + 10177 + 10181 + 10193 + 10211 + 10223 (sept nombres premiers consécutifs)

.                71317 = 14243 + 14249 + 14251 + 14281 + 14293 (cinq nombres premiers consécutifs)

Parmi les identités farfelues, les suivantes, découvertes au sujet du nombre premier palindrome 134757431, semblent miraculeuses. Ce nombre, qui mérite peut-être le titre de « nombre premier palindrome le plus intéressant », peut s’écrire de trois façons différentes comme somme de puissances des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chacun pris une seule fois :

.                134757431 = 17 + 23 + 38 + 45 + 54 + 62 + 71 + 89 + 96

.                134757431 = 17 + 25 + 38 + 41 + 52 + 64 + 73 + 89 + 96

.                134757431 = 17 + 28 + 34 + 42 + 53 + 65 + 71 + 89 + 96

C’est le seul nombre qui possèderait cette propriété. Il existerait – paraît-il – un autre nombre premier palindrome qu’on peut exprimer de deux façons différentes comme somme de puissances des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Nombre hautement composé

Un nombre hautement composé est un entier qui possède plus de diviseurs que n’importe quel entier positif inférieur à lui.

Ces nombres, parfois aussi appelé « nombres ploutons » (de Ploutos, divinité de la richesse), ont été introduits par Ramanujan en 1915.

Il existe une infinité de nombres hautement composés

A propos des nombres réels

Un nombre réel, c’est soit un entier, une fraction (nombre rationnel) ou un nombre irrationnel (qui ne peut s’écrire sous forme de fraction). Par exemple, la racine de 2 qui mesure la longueur de la diagonale d’un carré de coté 1 est un nombre irrationnel ; c’est aussi un nombre dit algébrique car il est solution d’une équation algébrique à coefficients rationnels : x^2−2=0.

Mais, la plupart des nombres réels sont en fait transcendants (comme Pi ou e) : ils ne sont solution d’aucune équation algébrique à coefficients rationnels. La plupart signifie ici avec une probabilité voisine de 1 : si on choisit au hasard un nombre réel on obtient avec une probabilité voisine de 1 un nombre transcendant.

Les nombres réels sont non dénombrables donc on ne peut nommer chacun d’entre eux. Ainsi, les nombres utilisés en pratique, que l’on peut nommer, constituent une partie infinitésimale des nombres réels. Ces autres nombres réels dont l’existence a été prouvée à partir des axiomes utilisés par les mathématiciens sont pour la plupart transcendants. Mais, ils sont bien plus étranges encore.

Ils sont aussi non calculables avec une probabilité voisine de 1. Un nombre réel est non calculable s’il n’existe aucun algorithme qui peut générer toutes ses décimales.

Pire, ces nombres réels sont aléatoires avec une probabilité voisine de 1 : un nombre réel est aléatoire s’il n’existe aucun algorithme pour calculer ses N premières décimales et qui puisse s’exprimer de façon bien plus concise qu’en listant ces N décimales. Autrement dit : il n’y a pas de structure identifiable dans les décimales du nombre et qui permettrait de le décrire de façon plus concise.

Nombre divin

C’est un nombre égal à la somme des n premiers entiers :

.                55 = somme ( 1 : 10)  ;      153 = somme ( 1 : 17)  ;    171 = somme ( 1 : 18)   ;     666 = somme ( 1 : 36)  ;      5 050 = somme ( 1 : 100)

Nombre solide

On qualifiera de « solide » un nombre entier naturel non premier qui n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

Nombre Harshad

Un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée

Les trente premiers nombres Harshad avec plus d’un chiffre en base 10 sont :

.                10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112.

Helen G. Grundman a démontré qu’en base 10, il n’existe pas 21 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad. Elle trouva aussi la plus petite suite de 20 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad ; ils dépassent 1044363342786

Nombre oblong

Nombre qui est le produit de deux entiers naturels consécutifs.

Nombre intouchable 

Entier naturel qui ne peut pas être exprimé comme la somme de tous les diviseurs propres d’un entier donné.

Prouver qu’un nombre n’est pas intouchable permet de mieux comprendre la définition.

Par exemple, 9 n’est pas intouchable, car 15 a pour diviseurs propres 5, 3 et 1 ; or   9  =  1 + 3 + 5.

Les premiers petits nombres intouchables sont :

.                2, 5, 52, 88, 96, 120,

Parmi ceux-ci, 96, déjà intouchable, est de plus imperturbable par symétrie.

Numération Bibi

Boby Lapointe né le 16 avril 1922 à Pézenas (Hérault), chanteur français est surtout connu pour ses textes parsemés de calembours, de contrepèteries et de paronomases.

Féru de mathématiques, Boby Lapointe fut aussi l’inventeur d’une codification de la base 16, qu’il nomma bibibinaire (pour binaire puissance deux puissance deux) et qu’il abrégea Bibi. La numération Bibi est une application du système hexadécimal d’usage courant en informatique

Pourquoi Bibi. Parce que seize peut s’écrire 2^2^2. Comme on parle de binaire pour la base 2, Boby Lapointe estimait qu’on pourrait parler de « Bi-Binaire » pour la base 4, et de « Bi-Bi-Binaire » pour la base 16, terme qu’il abrège en « Bibi ».

À partir de là, Boby Lapointe invente la notation et la prononciation des seize chiffres de la numération Bibi. À l’aide de quatre consonnes et de quatre voyelles, on obtient les seize combinaisons nécessaires :

.                HO, HA, HE, HI, BO, BA, BE, BI, KO, KA, KE, KI, DO, DA, DE, DI.

correspondant respectivement à: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

Pour définir un nombre, il suffit d’énumérer les chiffres (hexadécimaux) qui le composent.

Exemple : en Bibi, le nombre 2 000 se convertit en ‘BIDAHO’. (7 suivi de 13 suivi de 0)

En effet : : 7*16² + 13*16 + 0*160  =  1792 + 208 + 0  =  2 000

Théorème de Fermat

En 1640, le mathématicien toulousain Pierre de Fermat posa une énigme qui a tenu en haleine les mathématiciens pendant plus de trois siècles.

Il a affirmé qu’il n’est pas possible de trouver trois entiers a, b, c (aucun n’étant nul) tels que :   an + bn  =  c n, avec n un nombre entier (strictement supérieur à 2)

Il a affirmé avoir une démonstration, mais ne l’a jamais donnée, sous de fallacieux prétextes. Le mathématicien anglais Andrew Wills en fournit une démonstration en 1993. Depuis on parle du théorème de Fermat-Wills.

Gématrie

Elle fait correspondre à chaque lettre d’un alphabet (romain grec, hébreu, …) un nombre entier.

Cette correspondance utilisée dans le passé comme outil de numération est retrouvée dans des datations inscrites sur les pierres tombales ou dans des manuscrits comportant des calculs. Elle a engendré beaucoup de tentatives pour faire apparaître des sens cachés, notamment dans les textes sacrés.

Par exemple, le nombre 26 peut être considéré comme sacré car il est égal à la somme des chiffres représentant le nom de Dieu dans l’Ancien Testament. Le nombre 666 attribué à la « Bête » dans la Bible (Apocalypse), mais on assiste à une telle prolifération d’interprétations que 666, par exemple, dans le gématrie des 9 (a=9 ; b=18 ; c= 27 ; …) correspond à Jésus et … Lucifer !

Périodicité des décimales

 Quelque soient deux nombres entiers, le résultat de la division de l’un par l’autre est toujours un nombre décimal dont l’écriture possède la propriété de « périodicité ». C’est un nombre « rationnel ». La réciproque est également vraie

.                 22 / 7   =    3, 142857142857142857142857142857

.                  8 / 3    =    2. 666666666666666666666666666666

.                13 /11   =    1, 181818181818181818181818181818

.                  5 / 2    =    2.5 00000000000000000000000000000

.                13 / 19  =    0. 684210526315789473684210526315789473

.                57 / 34  =    1,6 7647058823529411764705882352941

Quelques curiosités chiffrées

.                111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999    sont tous multiples de 37.

.                153     est égal à la somme des cubes de ses chiffres : + 1 + 125 + 27

Si on multiplie        1 089        par 9, les chiffres s’inversent : 9 801. Cela se vérifie pour tous les nombres de structure   10 (n fois 9) 89

Si on multiplie      21 978        par 4, ses chiffres s’inversent :87 912

Si on multiplie      37 037        par 2,  puis par 3, on obtient 222 222

.                                                  par 3,  puis par 3, on obtient  333 333

.                                                  par 4,  puis par 3, on obtient  444 444

.                                                  par 5,  puis par 3, on obtient  555 555

.                                                  par 6,  puis par 3, on obtient  666 666

.                                                  par 7,  puis par 3, on obtient  777 777

.                                                  par 8,  puis par 3, on obtient  888 888

.                                                  par 9,  puis par 3, on obtient  999 999

Si on multiplie  142 857         par 1, on obtient :  142 857

.                                                 par 2, on obtient :  285 714

.                                                 par 3, on obtient :  428 571

.                                                 par 4, on obtient :  571 428

.                                                 par 5, on obtient :  714 285

.                                                 par 6, on obtient :  857 142

le résultat est un nombre contenant les mêmes chiffres, dans le même ordre, mais ne commençant pas au même endroit.

.                    par 7 (7 * 1), on obtient :  999 999

.                                              par   8, on obtient :  1 142 856    /   1 +  142 856  =  142 857 = 1 * 142 857

.                                              par   9, on obtient :  1 285 713    /   1 +  285 713  =  285 714 = 2 * 142 857

.                                              par 10, on obtient :  1 428 570    /   1 +  428 570  =  428 571 = 3 * 142 857

.                                              par 11, on obtient :  1 571 427    /   1 +  571 427  =  571 428 = 4 * 142 857

.                                              par 12, on obtient :  1 714 284    /   1 +  714 284  =  714 285 = 5 * 142 857

.                                              par 13, on obtient :  1 857 141    /   1 +  857 141  =  857 142 = 6 * 142 857

.                    par 14 (7*2), on obtient :  1 999 998    /   1 + 999 998  =  999 999

.                                              par 15, on obtient :  2 142 855    /   2 +  142 855  =  142 857 = 1 * 142 857

.                                              par 16, on obtient :  2 285 712    /   2 +  285 712  =  285 714 = 2 * 142 857

.                                              par 17, on obtient :  2 428 569    /   2 +  428 569  =  428 571 = 3 * 142 857

..                                             par 18, on obtient :  2 571 426    /   2 +  571 426  =  571 428 = 4 * 142 857

.                                              par 19, on obtient :  2 714 283    /   2 +  714 283  =  714 285 = 5 * 142 857

.                                              par 20, on obtient :  2 857 140    /   2 +  857 140  =  857 142 = 6 * 142 857

.                    par   21 [ 7 * ( 2+1) ],  on obtient :     2 999 997    /   2 +  999 997  =  999 999

.                    par   56 [ 7 * ( 7+1) ],  on obtient :     7 999 992    /   7 +  999 992  =  999 999

.                    par 126 [ 7 * (17+1) ],  on obtient :   17 999 982   / 17 +  999 982  =  999 999

.                    par 154 [ 7 * (21+1) ], on obtient :   21 999 978    / 21 +  999 978  =  999 999